世界是概率的

By Kiyosi Ito （图灵出版社译，2023）

• 1938年，我从东京大学理学部数学专业毕业。

• 我在烦恼该如何定义随机变量这一概率论的基础概念时，发现了苏联数学家柯尔莫哥洛夫所著的《概率论基础概念》一书。其实，在大一时我就曾在丸善书店看到过这本书，但当时我对它毫无兴趣。大学毕业后再次与这本书相遇时，我便知道它能满足我的求知欲，于是一口气把它读完了。

• 我对概率论的内容真正产生兴趣是在拜读了法国数学家保罗皮埃尔莱维在1937年提出的关于独立随机变量之和的理论之后。。。我从中找到了新概率论真正的本质，决定倾尽全部深入研究。

• 莱维的理论中有很多地方也是凭直觉来叙述的，晦涩难懂。我使用美国数学家杜布引入的正则化这个概念，试图将莱维的理论以柯尔莫哥洛夫式的严密的叙述风格来改写。经过诸多尝试，我最终实现了这个目标。这就是我最初发表的论文，现在大家已经习惯用我的方法来叙述莱维的理论了。

• 我也开始逐渐研究一般化的马尔可夫过程。在这些研究中，柯尔莫哥洛夫的研究与偏微分方程有很深的关联，这一点着实吸引着我。。。在思考过程中，我找到了随机微分方程这一方式。。。论文在最初发表时并未受到太多关注。

• 我一直贯彻着按自己的做法解决自己想研究的问题这样的态度，只因自己的性格就是如此，所以没少走弯路，也时常苦于无法很快拿出成果。

  都苦啊。

• “你有自己想要解决的问题，有自己想创立的体系，这一点非常好。”

• 当年数学专业的学生虽然只有十二三人

• 大学时代我的左耳听力就开始衰退

• 但直到我退休，都未有一堂课讲得能令我满意。

  那我就放心了。

• 美国研究生一年级的水平大致相当于日本本科的三四年级。

• 但对于一些需要用到随机过程和随机微分方程才能数学化的问题，有不少人妄图用大学程度的概率知识去解决。对于这样的数学使用者，数学家们无法热情对待也是无可奈何的事情。

• “色即是空，空即是色”。那么色是什么，空又是什么呢？这个问题有诸多答案，对我来说，最简明的解释便是色代表具体的事物，空代表抽象的事物。这样的话，前面两句话就能理解为“具体与抽象并不对立，是同一事物。要同时对二者进行考察，将一方抛开只讨论另一方是不可行的。”

  这个解释太好了。说来惭愧，我小时候听闻这句话时对色字的理解可太低俗了。。。

• （欧拉）在加速级数收敛的变换，也就是欧拉变换上下足了功夫。。。自然对数的底数e，虚数单位i，函数符号f(x)，差分符号Delta(x), Delta(x^2)等都是欧拉引入的。

• 如果有人就这个理论有何用处提出疑问，我会回答他：“这一理论正是没有被应用染指的纯粹数学的遗产。”

• 样本路径可以说是随机过程的本质。

  可能是因为伊藤先生有一本书就是关于样本路径的吧。

• 柯尔莫哥洛夫就是我研究数学的基石。我与柯尔莫哥洛夫教授有过三面之缘。第一次见面是在1962年国际数学家大会上。。。他并没有高高在上，而是给人一种不修边幅的敦厚君子的感觉。这才是真正伟大的数学家。我经常拜读柯尔莫哥洛夫的论文。

• 柯尔莫哥洛夫认为，有一些父母或教师会从10～12岁的学生中寻找具有数学才华的人，这种做法可能会毁掉学生的前途。但到了14～16岁这个年龄段，事情就大不相同了，学生会明确表现出对数学和物理的兴趣。

• 学习数学需要特殊才华这种说法在多数情况下是带有夸张成分的。

• 如果没有对研究课题的热忱和每日不间断的研究也没有任何意义。

• 什么样的教师才算优秀呢？（1）授课能力强，能引用其他学科的例子，吸引学生的注意力。（2）能通过有条理的说明和丰富的数学知识吸引学生。（3）可以成为优秀的辅导老师。能够充分认识到每个学生的能力，在学生的能力范围内为学生分派任务，使学生获得自信。

• 在学生开始进行研究时，首先要让他们拥有“我一定可以做些什么”的自信。因此，在给研究题目的时候，需要思考这个题目的重要性，还必须思考“这个研究能否帮助学生前进”“这个课题是不是在学生的能力范围之内，并且需要学生尽最大的努力才能研究出来”等问题。

• 1942年2月，二女儿在医院去世（出生后四个月感染了百日咳）。因为这段经历，我饱尝了在痛苦的孩子面前作为父亲的那种无力感，在此之中，我迷失了自我。

• 1935年4月，我从名古屋的高等学校毕业，进入东京帝国大学（现在的东京大学）理学部攻读数学专业。。。我在读高中时学习的第一外语是德语，法语只在大一暑假时在日法学院学习了三周，但数学语言是世界共通的，我之后自学的俄语也只够用来阅读数学书。就这样，我从统计力学开始向着概率论靠近，那时在日本还没有专门研究概率论的数学家，我自己也对“概率论从严格意义上能否算作数学”抱有疑问。

  Ito和Kolmogorov交谈时使用的是德语。

• 从1938年大学毕业，到1943年在名古屋大学任助教的这5年中，我就职于内阁统计绝。大学一毕业就结婚的我，第二年就成了1岁孩子的父亲。

• 当时，对于如何定义随机变量这一概率论的基础概念，我颇为烦恼，在此过程中，我读了苏联数学家柯尔莫哥洛夫的著作。我察觉到这就是我梦寐以求的书，于是一口气将它读完了。。。站在这样的立场上之后，以往朦胧不清的东西就如同拨云见日般明朗起来，也使我确信概率论确实是现代数学的一个分支。

  我居然也有相似的经历，只不过我当时的困扰是独立的随机变量是否存在？（我的导师说当然存在，然后在白板上证明：Let X be independent of Y. There you go.）后来读Kolmogorov的小册子确实很震撼。我个人认为Tikhonov关于product topology的compactness定理一定影响了Kolmogorov。（其实是因为我先学了后者，哈哈。）

• 法国数学家莱维在1937年发表的一篇名为“Theorie de l’addition des variables aleatoires”的论文让我又重新对概率论的内容燃起兴趣。。。我通过这篇论文看出了概率论新的本质，决定顺着这道光继续探究。那是1938年秋天的事情。。。这些随机过程中，我对独立增量过程的分解定理尤为感兴趣。。。美国数学家杜布在1937年发表的一篇关于随机过程的论文中提到了“正则化”的概念，我认为通过这个概念可以使以往模糊不清的问题明确化。我从杜布的视角审视莱维的理论，并引入泊松随机测度，终于以简明的方式描述出莱维对分解定理的思路。这就是我撰写的第一篇论文，其中介绍了如今在概率论中被称为“莱维-伊藤分解”的相关内容。这篇论文于1941年8月1日被受理，于1942年在《日本数学杂志》上发表。1945年10月3日，我通过这篇论文被东京帝国大学授予博士学位。

  也许可以试着读读莱维了？这该死的法语！

• 概率论在当时并不是十分人们的领域，加之那时又处于战争年代，因此，在1942年我把第二篇论文《确定马尔可夫过程的微分方程》发表在了《全国纸上数学谈话会》这本誊写印刷的刊物上。。。我与他人聊起此事，有人告诉我他读过我的这篇论文，这个人名叫丸山仪四郎，恐怕我和他是当时日本唯二对这个问题感兴趣的概率论研究者了吧。1942年，丸山以我的论文为基础，加上自己的思考，完成了一篇论文，并于1955年将这篇论文发表在意大利巴勒莫大学的学报中。我听丸山说起论文的事情后，在普林斯顿大学阅读了这篇论文，获得了极大的启发。

  丸山仪四郎即Gisiro Maruyama.

• 1942年发表这两篇论文时，我正就职于内阁统计局，按现在的话说是一个新人公务员，大家恐怕对我如何挤出时间进行研究抱有疑问吧。其实，单位的工作我没怎么做。当时的统计局长非常包容我，对我说：“你的专业往大了说与统计局的工作是有联系的，你就把时间全部用在自己想做的研究上吧。”

  这老板我们也想要。

• 我又继续发展了这个理论，几年后完成了一篇关于“随机微分方程”的论文。但由于战后日本依然处于穷困之中，出版用纸十分短缺，不可能有刊物愿意刊载这么长的论文，所以我将这篇论文寄给了杜布教授，询问他有没有在美国发表论文的可能。多亏杜布教授的妥善安排，论文于1951年作为美国数学学会的Memoirs of the American Mathematical Society的一册发表出来。

• 韦伊老师有时会在写满一黑板板书并进行讲解之后说有地方出错了，然后将板书全部擦掉，跑到走廊上重新思考，之后回来继续上课。之所以出现这样的情况，是因为他不依赖已有的方法，所讲内容全部基于独创的思考。这样的课程才应该享有盛名。

• 在“金融世界”中， 使用伊藤引理已经变成常识了。我在听到这个消息时，比起喜悦，更多的是不安。这个消息最初是在1997年的秋天由美国的朋友告诉我的。。。我是一个“非金融国民”，直到现在，别说是股票或是金融衍生产品了，就连银行存款也因为嫌定期麻烦而只存活期。我的妻子说，在定期存款和活期存款的利息有差别的时候，我们账户里几乎没钱，最近好不容易有些存款了，可不管是存定期还是活期，都没有什么利息，当初没费心打理其实是对的。

  讽刺不讽刺？

• 有才能不如喜爱，喜爱不如乐在其中。。。希望那些喜欢自己发现问题并用自己的方法思考问题的学生都能从事即使数年没有成果，也能思考自己的问题并沉醉其中的工作。

  是啊，有多少人在毕业后从事其它工作时还能思考数学呢？

• 所有人都被源源不断的偶然支配着漫步在时间之中，而决定其行走方式的是人自己的价值观。

• 已经在我身边陪伴我六十多年的妻子。

• 对日常生活毫不关心又急性子的我，能够在自己的研究上颇具耐力，不断前进，不得不说这归功于为我创造了这种环境的人们。父亲曾是一名老师，教历史和古汉语。

• 从1954年到1956年，我作为高等研究院的特别研究员一直留在普林斯顿大学。。。Feller关于最普通的一维扩散过程的诸多研究，特别是将局部生成元通过标准尺度函数s和速度测度m表示为 g= d/dm d/ds 的工作已经完成。我从当时还是Feller门下研究生的McKean那里知道了Feller的这项研究。作为回报，我把我自己的研究工作告诉了他。有时，McKean会试着根据前述切线的思路向Feller说明我在随机微分方程上所做的工作。令我没有想到的是，Feller十分理解我的研究的重要性，当我向他说明莱维提出的局部时的时候，他立即明白了这一概念与研究一维扩散过程的重要关联。事实上，Feller在那之后给了我们以下猜想。让反射布朗运动的轨迹，在其原点的局部时t（t，0）超越遵从指数分布的随机时间时消失，可以得到服从弹性边界条件[0，inf）上的布朗运动。1963年，我和McKean发表在Illinois Journal of Mathematics上的论文证实了这个猜想。我从普林斯顿大学回到京都后，McKean在1957年和1958年留在了京都。直到1965年我们一起撰写的书由Springer出版社出版，我们一直保持着紧密的合作关系。

• 我门下的渡边信三、国田宽、福岛正俊这几位研究生。

  渡边信三即Shinzo Watanabe, 国田宽即Hiroshi Kunita, 福岛正俊即Masatoshi Fukushima, 三人都有很厉害的书。

• 我虽然将文献(Essentials of stochastic processes)的原著在1957年出版时送给了Dynkin，但许久之后才得知那本书被Alexander Wentzel翻译了，并于1960年在莫斯科出版了第一部，1963年出版了第二部。另外，耶鲁大学的角谷静夫(Shizuo Kakutani)在1959年注意到了我关于一维扩散过程的论述的重要性，于是劝说他的学生伊藤雄二将第二部翻译成英文。

• 受秋月康夫老师的邀请，我从1952年起就职于京都大学，到去年（1984年）老师辞世，已经有三十余年了。。。秋月老师虽然研究的是代数，但预见到下一个时代的发展方向是代数几何，因此聚集了周围这一专业方向的年轻人，激励他们进行研究。在这个团体中，诞生了以永田雅宜、松村英之、广中平祐等人为代表的许多人才。

• 到了一定年纪，靠自己的本领继续工作没有什么困难，但进军新的领域就很难了。

• 指出下面句子中的逻辑错误：（1）吃得最少的人最饿，最饿的人吃得最多，所以吃得最少的人吃得最多。（2）你很蠢，因为我只知道你做的蠢事。

• 我从1966年开始约有10年时间在丹麦的奥胡斯大学和美国的康奈尔大学任职。

• 刚进东京大学没多久，有一次我同河田敬义（Kawata Keigi）与小平邦彦一起去丸善书店。河田总是用心倾听我的问题，还会告诉我杜布发表了相关的论文。。。杜布在那时还不是很出名，我对论文和图书的涉猎又不广泛，若河田没有告诉我杜布发表了论文，我在遭遇挫折后对概率论失去兴趣也未可知。

• 儿岛计子（伊藤清的长女）：父亲为我取名为“计子”，我从对语言和文字有意识的时候起，就讨厌自己的名字。统计的计，计算的计，总觉得里面有太多父亲的私心。

To Read

• Kiyosi Ito (1987). Selected Papers. Springer.
• Kiyosi Ito (2006). Essentials of Stochastic Processes. AMS.
• Kiyosi Ito and Henry P. McKean, Jr. (1974). Diffusion Processes and their Sample Paths. Springer.